Question

已知二次函数g（x）=x²+bx+c且在x=-1处取得最小值为m-1（m≠0）．
（Ⅰ）求g（x）；
（Ⅱ）设函数f（x）=

g(x)

x

，若曲线y=f（x）上的点到点Q（0，2）的距离的最小值为

2

，求m的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据题意求得函数的对称轴方程求得b，进而根据最小值求得c，则g（x）的解析式可得．
（Ⅱ）求得f（x）的表达式，设出p点的坐标，表示出PQ利用基本不等式求得其最小值表达式，进而求得m．

解答： 解：（Ⅰ）由题知：对称轴x=-

b

2

=-1，b=2，
g（-1）=1-2+c=m-1，c=m，
∴g（x）=x²+2x+m，
（Ⅱ）f（x）=

g(x)

x

=x+

m

x

+2，
设p（x₀，y₀），则|PQ|²=

x

2 0

+（y₀-2）²=

x

2 0

+（x₀+

m

x0

）²=2

x

2 0

+

m2

x 2 0

+2m≥2

2m2

+2m=2

2

|m|+2m，
当且仅当2

x

2 0

=

m2

x 2 0

时，|PQ|²取得最小值．
当m＞0时，2

2

|m|+2m=2，m=

2

-1，
当m＜0时，2

2

|m|+2m=2，m=-

2

-1．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，基本不等式的应用．考查了学生综合分析和推理的能力．