Question

（1）已知tan

α

2

=

1

2

，求sin（α+

π

6

）的值．
（2）已知α∈（π，

3

2

π），cosα=-

5

13

，tan

β

2

=

1

3

，求cos（

α

2

+β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,二倍角的正切

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用万能公式求得sinα和cosα的值，进而利用两角和公式求得sin（α+

π

6

）的值．
（2）通过二倍角公式求得sin

α

2

和cos

α

2

的值，利用万能公式求得sinβ和cosβ的值，最后利用两角和与差的余弦函数求得答案．

解答： 解：（1）∵sinα=

2tan α 2

1+tan2 α 2

=

4

5

∴cosα=

1-tan2 α 2

1+tan2 α 2

=

3

5

∴sin（α+

π

6

）=sinαcos

π

6

+cosαsin

π

6

=

4

5

×

3

2

+

3

5

×

1

2

=

3+4 3

10

．
②∵α∈(π，

3

2

π)，
∴

α

2

∈（

π

2

，

3π

4

），sin

α

2

＞0，cos

α

2

＜0，
∵cosα=1-2sin²

α

2

=2cos²α-1=-

5

13

，
∴sin

α

2

=

3 13

13

，cos

α

2

=-

2 13

13

，
∵tan

β

2

=

1

3

，
∴sinβ=

2tan β 2

1+tan2 β 2

=

3

5

，cosβ=

1-tan2 β 2

1+tan2 β 2

=

4

5

，
∴cos（

α

2

+β）=cos

α

2

cosβ-sin

α

2

sinβ=-

2 13

13

×

4

5

-

3 13

13

×

3

5

=-

17 13

65

．

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数和余弦函数公式的应用．解题过程重视涉及到了万能公式的应用，虽然教材没有强调，但作为一个实用的公式应熟练记忆．