Question

已知a₁=1，a₂=4，a_n+2=4a_n+1+a_n，b_n=

an+1

an

，n∈N^*
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）设c_n=b_nb_n+1，S_n为数列{c_n}的前n项和，求证：S_n≥17n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）由a₁=1，a₂=4，a_n+2=4a_n+1+a_n，可求得a₃=17，a₄=72，又b_n=

an+1

an

，n∈N^*，于是可求b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）由a_n+2=4a_n+1+a_n，得

an+2

an+1

=4+

an

an+1

，即b_n+1=4+

1

bn

，由c_n=b_nb_n+1，可求得c₁=b₁b₂=17，当n≥2时，b_n＞4，c_n=b_nb_n+1=4b_n+1＞17（n≥2），于是易证S_n≥17n．

解答： 解：（Ⅰ）由于a₁=1，a₂=4，a_n+2=4a_n+1+a_n，
所以a₃=4a₂+a₁=17，a₄=4a₃+a₂=72，又b_n=

an+1

an

，n∈N^*，
所以b₁=4，b₂=

17

4

，b₃=

72

17

；
（Ⅱ）证明：由a_n+2=4a_n+1+a_n，得

an+2

an+1

=4+

an

an+1

，即b_n+1=4+

1

bn

，
所以当n≥2时，b_n＞4，
于是c₁=b₁b₂=17，c₂=b₂b₃=18，c_n=b_nb_n+1=4b_n+1＞17（n≥2）
所以S_n=c₁+c₂++c_n≥17n．

点评：本题考查数列的求和，着重考查数列递推式的应用，考查运算与求解能力，属于难题．