Question

3．求满足下列条件的曲线的标准方程
（1）两焦点坐标分别是$（{0，2\sqrt{2}}），（{0，-2\sqrt{2}}），并且椭圆经过点（{-\sqrt{21}，-3}）$．
（2）经过点$（{3，-4\sqrt{2}}），（{\frac{9}{4}，5}）的双曲线的标准方程$．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，结合已知条件得关于a，b，c的方程组，求解方程组得答案；
（2）由题意，设双曲线方程为mx²+ny²=1，代入点（3，-4$\sqrt{2}$）、（$\frac{9}{4}$，5），建立方程组，求出m，n，即可求出双曲线的标准方程．

解答 解：（1）由题意可设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{c=2\sqrt{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{21}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=36，b²=28．
∴题意方程为$\frac{{y}^{2}}{36}+\frac{{x}^{2}}{28}=1$；
（2）设双曲线方程为由题意，设双曲线方程为mx²+ny²=1，
代入点（3，-4$\sqrt{2}$）、（$\frac{9}{4}$，5），可得9m+32n=1，$\frac{81}{16}$m+25n=1，
联立解得m=-$\frac{1}{9}$，n=$\frac{1}{16}$，
∴双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{9}=1$．

点评 本题考查椭圆与双曲线的标准方程，考查待定系数法的运用，属于中档题．