Question

13．如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上异于A、B的点．
PA=AB，∠BAC=60°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PBC所成的角的正弦值；
（3）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出PA⊥BC，AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面PAC．
（2）过A作AH⊥PC于H，则∠ADH为AD与面PBC所成角，由此能求出AD与平面PBC所成的角的正弦值．
（3）推导出DE⊥平面PAC，∠AEP为二面角A-DE-P的平面角，由此能求出存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角．

解答 证明：（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC，
又∠BCA=90°，
∴AC⊥BC，
又PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC．
解：（2）过A作AH⊥PC于H，
∵BC⊥平面PAC，BC?面PBC，∴面PBC⊥面PAC，
∴AH⊥平面PBC，
∴∠ADH为AD与面PBC所成角，
依题意，设PA=AB=2，则AD=$\frac{1}{2}$PB=$\sqrt{2}$，AC=1，
在Rt△PAC中，PA=2，AC=1，则AH=$\frac{PA•AC}{AD}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
在Rt△AHD中，AD=$\sqrt{2}$，AH=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴sin$∠ADH=\frac{AH}{AD}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴AD与平面PBC所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
（3）∵DE∥BC，
又由（1）知BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∩PAC=90°，
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，此时∠AEP=90°，
∴存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查使得二面角为直二面角的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．