Question

5．对于平面直角坐标系内任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定义它们之间的一种“折线距离”：d（A，B）=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．则下列命题正确的是（　　）
①若A（-1，3），B（1，0），则$d（A，B）=\sqrt{13}$；
②若A为定点，B为动点，且满足d（A，B）=1，则B点的轨迹是一个圆；
③若点C在线段AB上，则d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．

• A． ①②
• B． ②
• C． ③
• D． ①②③

Answer 1

分析 利用“折线距离”：d（A，B）=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|，逐一判断命题①②③即可得到答案．

解答 解：①∵A（-1，3），B（1，0），则d（A，B）=|1-（-1）|+|0-3|=2+5=5，故①错误；
②不妨令点A为坐标原点，B（x，y），则d（A，B）=|x|+|y|=1，B点的轨迹是一个正方形，而不是圆，故②错误；
③设直角坐标平面内的任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设C点坐标为（x₀，y₀），
∵点C在线段AB上，
∴x₀在x₁、x₂之间，y₀在y₁、y₂之间，不妨令x₁＜x₀＜x₂，y₁＜y₀＜y₂，
则d（A，C）+d（C，B）=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|
=x₀-x₁+y₀-y₁+x₂-x₀+y₂-y₀
=x₂-x₁+y₂-y₁
=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|
=d（A，B）成立，故③正确．
∴正确的命题是③．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查创新思维与逻辑思维，考查等价转化思想与运算能力，是中档题．