Question

17．已知$f（x）=\frac{{3{e^{|x|}}-xcosx}}{{{e^{|x|}}}}$在$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的最大值为p，最小值为q，则p+q=6．

Answer 1

分析 将函数进行变形，构造函数，利用函数奇偶性的性质即可得到结论．

解答 解：由题意，f（x）=3-$\frac{xcosx}{{e}^{|x|}}$，
令g（x）=f（x）-3=-$\frac{xcosx}{{e}^{|x|}}$，
则g（-x）=-$\frac{-xcos（-x）}{{e}^{|x|}}$=-g（x），即函数g（x）是奇函数，
∴g（x）_max+g（x）_min=0，
∵$f（x）=\frac{{3{e^{|x|}}-xcosx}}{{{e^{|x|}}}}$在$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的最大值为p，最小值为q，
∴p-3+q-3=0，
∴p+q=6．
故答案为：6．

点评 本题主要考查函数的最值的计算，根据条件构造新函数，利用函数的奇偶性的性质是解决本题的关键．