Question

12．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁=2，A₁A=4，D，E分别是棱BC，CC₁上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B₁C₁的中点．
求证：（1）平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）直线A₁F∥平面ADE；
（3）若B₁C₁=2，求三棱锥F-ADE的体积．

Answer 1

分析 （1）由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得CC₁⊥平面ABC，进一步得CC₁⊥AD．又AD⊥DE，由线面垂直的判定得AD⊥平面BCC₁B₁．再由面面垂直的判定得平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）由A₁B₁=A₁C₁，F为B₁C₁的中点，得A₁F⊥B₁C₁．进一步得CC₁⊥A₁F．可得A₁F⊥平面BCC₁B₁．结合（1）知AD⊥平面BCC₁B₁，得A₁F∥AD．再由线面平行的判定定理得A₁F∥平面ADE；
（3）直接利用等积法把三棱锥F-ADE的体积转化为A-FDE的体积求解．

解答 （1）证明：∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴CC₁⊥平面ABC，
又AD?平面ABC，∴CC₁⊥AD．
又∵AD⊥DE，CC₁，DE?平面BCC₁B₁，CC₁∩DE=E，
∴AD⊥平面BCC₁B₁．又AD?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）证明：∵A₁B₁=A₁C₁，F为B₁C₁的中点，∴A₁F⊥B₁C₁．
∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁，且A₁F?平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥A₁F．
又∵CC₁，B₁C₁?平面BCC₁B₁，CC₁∩B₁C₁=C₁，
∴A₁F⊥平面BCC₁B₁．
由（1）知AD⊥平面BCC₁B₁，∴A₁F∥AD．
又AD?平面ADE，A₁F?平面ADE，∴A₁F∥平面ADE；
（3）解：∵A₁B₁=A₁C₁=B₁C₁=2，∴AD=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$，
又A₁A=4，∴${S}_{△FDE}=1×4-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×2=2$，
∴${V}_{F-ADE}={V}_{A-FDE}=\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判断，考查平面与平面垂直的判断，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．