Question

18．命题：“?b∈R，使直线y=-x+b是曲线y=x³-3ax的切线”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $a＜\frac{1}{3}$
• B． $a≤\frac{1}{3}$
• C． $a＞\frac{1}{3}$
• D． $a≥\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由题意，存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=-x+b都不是曲线y=x³-3ax的切线．由直线y=-x+b得直线斜率为-1，直线y=-x+b不与曲线f（x）相切知曲线f（x）上任一点斜率都不为-1，即f′（x）≠-1，求导函数，并求出其范围[-3a，+∞），得不等式-3a＞-1，即得实数a的取值范围．

解答 解：由题意，存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=-x+b都不是曲线y=x³-3ax的切线．
设f（x）=x³-3ax，求导函数，可得f′（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞），
∵存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=-x+b都不是曲线y=x³-3ax的切线，
∴-1∉[-3a，+∞），∴-3a＞-1，即实数a的取值范围为a＜$\frac{1}{3}$
故选：A．

点评 本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．