Question

过动点M(x，y)引直线l：y＝－1的垂线，垂足为A，O是原点，直线MO与l交于点B，以AB为直径的圆恒过点F(0,1)．

(1)求动点M的轨迹C的方程．

(2)一个具有标准方程的椭圆E与(1)中的曲线C在第一象限的交点为Q，椭圆E与曲线C在点Q处的切线互相垂直且椭圆E在Q处的切线被曲线C所截得的弦的中点横坐标为－，求椭圆E的方程．

Answer 1

解：(1)设M(x，y)，则A(x，－1)，，又F(0,1)．由＝0.

得x²＝4y(x≠0)

(2)设Q(x₀，y₀)，所求椭圆E的方程为＋＝1(a>0，b>0，a≠b)，则过点Q的曲线C的切线方程为x₀x－2y－2y₀＝0，E的切线方程为b²x₀x＋a²y₀y＝a²b²，

由(x₀，－2)·(b²x₀，a²y₀)＝0，而x＝4y₀≠0，得a²＝2b²，

将b²x₀x＋a²y₀y＝a²b²代入x²＝4y得y₀x²＋2x₀x－4b²＝0，

得x₁＋x₂＝－＝－2，得x₀＝y₀，结合x＝4y₀得x₀＝2，y₀＝2，

代入椭圆方程得b²＝8，故所求椭圆方程为＋＝1.