Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-2tx在区间[-1，5]上是单调函数，求实数t的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（-1，2）上有唯一实数根，求实数m的取值范围（注：相等的实数根算一个）．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，利用待定系数法，可得f（x）的解析式；
（2）由g（x）=f（x）-2tx=x²-（2t+1）x+1的图象关于直线x=t+

1

2

对称，结合函数g（x）在[-1，5]上是单调函数，可得t+

1

2

≤-1或t+

1

2

，解得实数t的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（-1，2）上有唯一实数根，则函数h（x）在（-1，2）上有唯一的零点，分类讨论，可得实数m的取值范围．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
代入f（x+1）-f（x）=2x得2ax+a+b=2x对于x∈R恒成立，
故

2a=2 a+b=0

…（3分）
又由f（0）=1得c=1，
解得a=1，b=-1，c=1，
所以f（x）=x²-x+1．…（5分）
（2）因为g（x）=f（x）-2tx=x²-（2t+1）x+1的图象关于直线x=t+

1

2

对称，
又函数g（x）在[-1，5]上是单调函数，故t+

1

2

≤-1或t+

1

2

，…（8分）
解得t≤-

3

2

或t≥

9

2

故实数t的取值范围是（-∞，-

3

2

]∪[

9

2

，+∞）．…（10分）
（3）由方程f（x）=x+m得x²-2x+1-m=0，
令h（x）=x²-2x+1-m，x∈（-1，2），即要求函数h（x）在（-1，2）上有唯一的零点，…（11分）
①若h（-1）=0，则m=4，代入原方程得x=-1或3，不合题意；…（12分）
②若h（2）=0，则m=1，代入原方程得x=0或2，满足题意，故m=1成立；…（13分）
③若△=0，则m=0，代入原方程得x=1，满足题意，故m=0成立；…（14分）
④若m≠4且m≠1且m≠0时，由

h(-1)=4-m＞0 h(2)=1-m＜0

得1＜m＜4．
综上，实数m的取值范围是{0}∪[1，4）．  …（16分）
（说明：第3小题若采用数形结合的方法进行求解，正确的给（3分），不正确的得0分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．