Question

已知函数f（x）=sin²（x）-2（a-1）sinx•cosx+5cos²（x）+2-a，试推断是否存在常数a，使f（x）的最大值为6？若存在，求出a值：若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=5-a+（1-a）sin2x+2cos2x，再根据asinx+bcosx的最大值为

a2+b2

、以及题中条件求得a的值．

解答： 解：函数f（x）=sin²（x）-2（a-1）sinx•cosx+5cos²（x）+2-a
=1-（a-1）sin2x+4•

1+cos2x

2

+2-a=5-a+（1-a）sin2x+2cos2x．
故函数f（x）的最大值为 5-a+

(1-a)2+22

=6，即

(1-a)2+22

=1+a，
求得a=1，故存在常数a=1，使f（x）的最大值为6．

点评：本题主要考查三角恒等变换，利用了asinx+bcosx的最大值为

a2+b2

，属于中档题．