Question

证明：

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜

7

4

，n∈Z^*．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用

1

n2

＜

1

n2-1

=

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

），即可证明结论．

解答： 证明：∵

1

n2

＜

1

n2-1

=

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

）
∴

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

）=1+

1

2

（1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

）＜

7

4

．

点评：本题考查不等式的证明，考查放缩法的运用，利用

1

n2

＜

1

n2-1

=

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

）是关键．