Question

已知函数f（x）=x²-2ax+3，g（x）=mx+5-2m．
（Ⅰ）若函数F（x）=f（3^x），x∈[-1，1]，F（x）的最小值为h（a），求h（a）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[1，4]，当a=2时f（x）的值域为A，g（x）的值域为B，A∪B=B，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）换元法转化为二次函数求解，F（x）=y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，则对称轴为t=a，根据对称轴与区间 的关系讨论①当a≤

1

3

时，t=

1

3

时，F(x)min=h(a)=

28

9

-

2a

3

，②当

1

3

＜a＜3时，t=a时，F(x)min=h(a)=3-a2，③当a≥3时，t=3时，F（x）_min=h（a）=12-6a．
（Ⅱ）分类讨论求解即可①当m=0时，g（x）=5，为常数，不符合题意；②当m＞0时，B=[5-m，5+2m]，需

5-m≤-1 5+2m≥3

，解得m≥6，
③当m＜0时，B=[5+2m，5-m]，需

5+2m≤-1 5-m≥3

，解得m≤-3．

解答： 解：（Ⅰ）设t=3^x，∵x∈[-1，1]，∴t∈[

1

3

，3]，
令F（x）=y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，则对称轴为t=a，
①当a≤

1

3

时，t=

1

3

时，F(x)min=h(a)=

28

9

-

2a

3

，
②当

1

3

＜a＜3时，t=a时，F(x)min=h(a)=3-a2，
③当a≥3时，t=3时，F（x）_min=h（a）=12-6a．
综上：h(a)=

28 9 - 2a 3 ，a≤ 1 3 3-a2， 1 3 ＜a＜3 12-6a，a≥3

，
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1
∵x∈[1，4]，∴f（x）的值域A=[-1，3]，
∵A∪B=B，∴A⊆B，下面求g（x）的值域B
①当m=0时，g（x）=5，为常数，不符合题意；
②当m＞0时，B=[5-m，5+2m]，∵A⊆B，
需

5-m≤-1 5+2m≥3

，解得m≥6，
③当m＜0时，B=[5+2m，5-m]，∵A⊆B，
需

5+2m≤-1 5-m≥3

，解得m≤-3．
综上：m≥6或m≤-3．

点评：本题考查了函数的性质，分类讨论的思想，不等式的运用，属于综合题，但是难度不大，关键是确定分类的标准．