Question

已知直线l₁：ax-2y-2a+4=0，l₂：2x+a²y-2a²-4=0，其中0＜a＜2，当l₁，l₂与两坐标轴围成的四边形面积最小时，求l₁与l₂的方程．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：对于直线l₁：ax-2y-2a+4=0，分别令x=0，y=0 可得与坐标轴的交点A，B．对于l₂：2x+a²y-2a²-4=0，分别令x=0，y=0 可得与坐标轴的交点C，D．可得l₁，l₂与两坐标轴围成的四边形面积S=

1

2

|AC||BD|，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵0＜a＜2，对于直线l₁：ax-2y-2a+4=0，分别令x=0，y=0 可得与坐标轴的交点A（0，2-a），B(

2a-4

a

，0)．
对于l₂：2x+a²y-2a²-4=0，分别令x=0，y=0 可得与坐标轴的交点，C(0，2+

4

a2

)，D（a²+2，0）．
∴l₁，l₂与两坐标轴围成的四边形面积S=

1

2

|AC||BD|=

1

2

|(a+

4

a2

)(a2+

4

a

)|=

1

2

(a3+

16

a3

+8)≥

1

2

(2

a3• 16 a3

+8)=8，当且仅当a=

3	4

时取等号．
∴l₁与l₂的方程分别为：

3	4

x-2y-2

3	4

+4=0；2x+

3	16

y-2

3	16

-4=0．

点评：本题考查了直线与坐标轴的交点、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．