Question

若双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的下焦点是F，点A，B分别是双曲线的两个虚轴端点，且向量

FA

与

FB

的夹角θ的余弦值cosθ=

1

3

，则该双曲线一条渐近线的倾斜角为（　　）

• A、30°
• B、60°
• C、90°
• D、135°

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出双曲线的下焦点和虚轴的端点，由向量的坐标和数量积及模的公式，结合向量夹角公式，计算可得c²=2b²，再由a，b，c的关系和渐近线方程，可得斜率和倾斜角．

解答： 解：设双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的下焦点是F（0，-c），
A（-b，0），B（b，0），
即有

FA

=（-b，c），

FB

=（b，c），

FA

•

FB

=c²-b²，|

FA

|=|

FB

|=

b2+c2

，
即有cosθ=

FA • FB

| FA |•| FB |

=

c2-b2

c2+b2

=

1

3

，
即为c²=2b²，
则a²=c²-b²=b²，即a=b，
即有双曲线的渐近线方程为y=±x，
则渐近线的斜率为±1，
倾斜角分别为45°，135°．
故选：D．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，同时考查向量的数量积的坐标表示和向量的模以及向量的夹角，考查运算化简能力，属于中档题．