Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB=2，BD=2

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，M，N分别是线段PA，PC的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线MN与BC所成角的大小．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结AC，交BD于点O，由已知得MN∥AC，由此能证明MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）由已知得∠ACB是异面直线MN与BC所成的角或其补角，由此能求出异面直线MN与BC所成的角．

解答： （Ⅰ）证明：连结AC，交BD于点O，
∵M，N分别是PA，PC的中点，∴MN∥AC，
∵MN?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠ACB是异面直线MN与BC所成的角或其补角，
∵四边形ABCD是菱形，AB=2，BO=

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，
∴∠OCB=60°，
∴异面直线MN与BC所成的角为60°．

点评：本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．