Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）
（1）求f（

π

4

）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先根据三角函数的恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．
（2）利用函数的关系式，进一步求出函数的周期和单调区间．

解答： 解：（1）f（x）=2cosx（sinx+cosx）
=2sinxcosx+2cos²x
=sin2x+cos2x+1
=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
所以：f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
则：f(

π

4

)=

2

sin

3π

4

+1=2；
（2）由于f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
所以函数的最小正周期为：T=

2π

2

=π；
令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
解得：-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，
所以函数的单调递增区间为：[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]（k∈Z）．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的周期和单调区间的确定，属于基础题型．