Question

已知f（x）=3^x-3^-x-2x，则满足（x-2）f（log 

1

2

x）＜0的x的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：由已知中f（x）=3^x-3^-x-2x，结合函数的奇偶性和单调性，可得当x∈（0，1）时，f（log 

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2

x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f（log 

1

2

x）＜0，又由当x∈（0，2）时，x-2＜0，当x∈（2，+∞）时，x-2＞0，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=3^x-3^-x-2x为奇函数，且在定义域R为增函数，
∴f（0）=0，
当x＞0时，f（x）＞0，
当x＜0时，f（x）＜0，
∴当x∈（0，1）时，f（log 

1

2

x）＞0，
当x∈（1，+∞）时，f（log 

1

2

x）＜0，
又由当x∈（0，2）时，x-2＜0，
当x∈（2，+∞）时，x-2＞0，
∴当x∈（0，1）∪（2，+∞）时，（x-2）f（log 

1

2

x）＜0，
故答案为：（0，1）∪（2，+∞）．

点评：本题考查的知识点是函数的单调性和奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．