Question

已知函数f（x）=mxlnx（m＞0），f（x）在点（e，f（e））处的切线与x轴、y轴分别交于A、B两点，且△AOB的面积为

e2

4

，证明：当x＞e时，对于任意正实数t不等式f（x+t）＜f（x）e^t恒成立．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率，得到切线方程，分别令x=0，y=0，得到y，x轴上的截距，再由三角形的面积公式，可得m=1，将不等式转化为

f(x+t)

ex+t

＜

f(x)

ex

，即证当x＞e，对于任意正实数t恒成立，构造函数g（x）=

f(x)

ex

，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．

解答： 证明：f（x）=mxlnx（m＞0）的导数为f′（x）=m（lnx+1），
在点（e，f（e））处的切线斜率为f′（e）=2m，
切点为（e，me），
则在点（e，f（e））处的切线方程为y-me=2m（x-e），
即为y=2mx-me，
令x=0可得y=-me，令y=0可得x=

e

2

．
即有

1

2

•

e

2

•me=

e2

4

，解得m=1，
即有f（x）=xlnx．
不等式f（x+t）＜f（x）e^t可转化为f（t+x）＜f（x）e^（t+x-x），
即证

f(x+t)

ex+t

＜

f(x)

ex

，当x＞e，对于任意正实数t恒成立．
设g（x）=

f(x)

ex

，
则g′（x）=

lnx+1-xlnx

ex

，
令h（x）=lnx+1-xlnx，h′（x）=

1

x

-lnx-1，h″（x）=-

1

x2

-

1

x

＜0，（x＞e）
故h'（x）在（e，+∞）上单减，又h'（e）=

1

e

-2＜0，
即有h′（x）＜h′（e）＜0，即h（x）在x＞e上递减，
即有h（x）＜h（e）=2-e＜0，即为g′（x）＜0，g（x）在x＞e上递减．
由x＞e时，对于任意正实数t，x+t＞x，
则有g（x+t）＞g（x），
即有不等式f（x+t）＜f（x）e^t恒成立．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和判断单调性，主要考查不等式恒成立的证明，利用条件将不等式进行转换，构造函数是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．