Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2，
（1）求实数a的取值范围，使函数y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数；
（2）若x∈[-5，5]，记y=f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式并判断其奇偶性．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）对称轴x=-a，当-a≤-5或-a≥5时，f（x）在[-5，5]上单调
（2）分类得出：
当-a≤0，即a≥0，最大值为g（a）=f（5）=27+10a，当-a＞0，即a＜0，最大值为g（a）=f（-5）=27-10a，根据解析式得出奇偶性．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x²+2ax+2，
∴对称轴x=-a，
根据二次函数的性质得出：当-a≤-5或-a≥5时，f（x）在[-5，5]上单调
∴a≥5或a≤-5，
（2）对称轴x=-a，
当-a≤0，即a≥0，最大值为g（a）=f（5）=27+10a，
当-a＞0，即a＜0，最大值为g（a）=f（-5）=27-10a，
∴g(a)=

27+10aa≤0 27-10aa＜0

，
g（a）=27+|10a|，
∵g（-a）=g（a）
∴g（a）为偶函数．

点评：本题考查了函数的对称性，单调性，奇偶性，综合运用解决问题，难度较小，属于基础题．