Question

已知

1

3

≤a≤1，若函数f（x）=ax²-2x在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的表达式；
（2）若关于a的方程g（a）-t=0有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：分类讨论,函数思想,方程思想,函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）解析式，讨论a的取值范围，求出f（x）的最值，得出g（a）的表达式；
（2）先用定义判断函数g（a）在定义域上的单调性，再求出g（a）的值域，把方程g（a）-t=0有解转化为t=g（a）有解，求出t的取值范围即可．

解答： 解：（1）f（x）=ax²-2x=a(x-

1

a

)2-

1

a

，…（1分）
∵

1

3

≤a≤1，∴1≤

1

a

≤3；
①当1≤

1

a

≤2，即

1

2

≤a≤1时，则x=3时，函数f（x）取得最大值；
x=

1

a

时，函数f（x）取得最小值；
∴M（a）=f（3）=9a-6，N（a）=f（

1

a

）=-

1

a

；
∴g（a）=M（a）-N（a）=9a+

1

a

-6；…（3分）
②当2＜

1

a

≤3，即

1

3

≤a≤

1

2

时，则x=1时，函数f（x）取得最大值；
x=

1

a

时，函数f（x）取得最小值．
∴M（a）=f（1）=a-2，N（a）=f（

1

a

）=-

1

a

．
∴g（a）=M（a）-N（a）=a+

1

a

-2；…（5分）
综上，得g（a）=

a+ 1 a -2， 1 3 ≤a＜ 1 2 9a+ 1 a -6， 1 2 ≤a≤1

；  …（6分）
（2）任取a₁，a₂∈[

1

3

，

1

2

），且a₁＜a₂，
g（a₁）-g（a₂）=（a₁+

1

a1

-2）-（a₂+

1

a2

-2）=

(a1-a2)(a1a2-1)

a1a2

；…（7分）
∵a₁a₂∈[

1

3

，

1

2

），且a₁＜a₂，
∴a₁-a₂＜0，a₁a₂＞0，a₁a₂-1＜0；
∴

(a1-a2)(a1a2-1)

a1a2

＞0，即g（a₁）-g（a₂）＞0；
∴g（a₁）＞g（a₂）．
∴函数g（a）在[

1

3

，

1

2

）上单调递减；…（8分）
任取a₃，a₄∈[

1

2

，1]，且a₃＜a₄，
g（a₃）-g（a₄）=（9a₃+

1

a3

-6）-（9a₄+

1

a4

-6）=

(a3-a4)(9a3a4-1)

a3a4

；…（9分）
∵a₃，a₄∈[

1

2

，1]，且a₃＜a₄，
∴a₃-a₄＜0，a₃a₄＞0，9a₃a₄-1＞0；
∴

(a3-a4)(9a3a4-1)

a3a4

＜0，即g（a₃）-g（a₄）＜0；
∴g（a₃）＜g（a₄）；
∴函数g（a）在[

1

2

，1]上单调递增；…（10分）
当a=

1

2

时，g（a）取得最小值，其值为g（

1

2

）=

1

2

，…（11分）
又g（

1

3

）=

4

3

，g（1）=4．
∴函数g（a）的值域为[

1

2

，4]；．…（12分）
∵关于a的方程g（a）-t=0有解等价于t=g（a）有解，
∴实数t的取值范围为函数g（a）的值域；         …（13分）
∴实数t的取值范围为[

1

2

4，]．…（14分）

点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与方程思想的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．