Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，其中ABCD是正方形，AA₁＞AB．设点A到直线B₁D的距离和到平面DCB₁A₁的距离分别为d₁，d₂，则

d1

d2

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：设AB=a，AA₁=b（b＞a），利用长方体中的垂直关系和面积相等求出d₁，连接A₁D、过A作AE⊥A₁D，利用长方体中的垂直关系、线面垂直的判定定理和定义，得到d₂=AE，利用面积相等求出d₂，化简

d1

d2

后设t=

a2

b2

，求出0＜t＜1，化简后利用基本不等式和函数的单调性求出

d1

d2

的范围．

解答： 解：设AB=a，AA₁=b，由AA₁＞AB得b＞a，
所以点A到直线B₁D的距离d₁=

AD•AB1

B1D

=

a a2+b2

2a2+b2

，
连接A₁D，过A作AE⊥A₁D，
由CD⊥平面ADD₁A₁得，CD⊥AE，又AE⊥A₁B，则AE⊥平面DCB₁A₁，
所以AE为点A到平面DCB₁A₁的距离，
则d₂=AE=

AD•AA1

A1D

=

ab

a2+b2

，
所以

d1

d2

=

a(a2+b2)

ab 2a2+b2

=

a2+b2

b 2a2+b2

，上式分子分母同除以b²得，

d1

d2

=

a2 b2 +1

2 a2 b2 +1

，
设t=

a2

b2

，则0＜t＜1，代入上式可得

d1

d2

=

t+1

2t+1

，
设y=

t+1

2t+1

=

t2+2t+1 2t+1

=

1 2 • (t+ 1 2 )2+t+ 1 2 + 1 4 t+ 1 2

=

1 2 •[t+ 1 2 + 1 4(t+ 1 2 ) +1]

≥

1 2 (2 1 4 +1)

=1，
当且仅当t+

1

2

=

1

4(t+ 1 2 )

时取等号，此时t=0，
因为0＜t＜1，函数y在（0，1）上是增函数，当t=1时，y=

2

3

=

2 3

3

，
所以1＜y＜

2 3

3

，

d1

d2

∈(1，

2 3

3

)，
故答案为：(1，

2 3

3

)．

点评：本题的考点是点、线、面间的距离计算，线面垂直的判定定理和定义，面积相等法求距离，关键是利用长方体的几何特征寻找表示点面距离的线段，再转化为函数关系利用函数的单调性、基本不等式求最值，注意换元法的应用以及变量的范围确定，属于难题．