Question

已知函数f（x）=x-ln（x+a）（a＞0）的最小值为0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对任意x∈[0，+∞）不等式f（x）≤x-

mx

x+1

恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f′（x）=1-

1

x+a

，（a＞0），分别解出令f′（x）＞0，令f′（x）＜0，即可得出函数f（x）单调性质；进而得出极小值点．．
（Ⅱ）若对任意x∈[0，+∞）不等式f（x）≤x-

mx

x+1

恒成立?ln（x+1）≥

mx

x+1

在x∈[0，+∞）上恒成立．设g（x）=ln（x+1）-

mx

x+1

（x≥0）．则g′（x）=

1

x+1

-

m

(1+x)2

=

x+1-m

(1+x)2

．对m分类讨论：当m≤1时，当m＞1时，分别研究函数f（x）d的单调性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=1-

1

x+a

，（a＞0），
令f′（x）＞0，解得x＞1-a，此时函数f（x）单调递增；
令f′（x）＜0，解得-a＜x＜1-a，此时函数f（x）单调递减．
∴x=1-a是函数f（x）的极小值点，即为最小值点，
∴f（1-a）=1-a+ln1=0，解得a=1．
∴f（x）=x-ln（1+x）（x＞-1）．

（Ⅱ）若对任意x∈[0，+∞）不等式f（x）≤x-

mx

x+1

恒成立，即ln（x+1）≥

mx

x+1

在x∈[0，+∞）上恒成立．
设g（x）=ln（x+1）-

mx

x+1

（x≥0）．
则g′（x）=

1

x+1

-

m

(1+x)2

=

x+1-m

(1+x)2

．
当m≤1时，g′（x）≥0，
∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，又g（0）=0，
∴g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，即m≤1时，ln（x+1）≥

mx

x+1

在x∈[0，+∞）上恒成立．
当m＞1时，对x∈（0，m-1），g′（x）＜0，
∴g（x）在x∈（0，m-1）上单调递减，
∴g（m-1）＜g（0）．即当m＞1时，存在x＞0使得g（x）＜0，
可知：ln（x+1）≥

mx

x+1

在x∈[0，+∞）上不恒成立．
综上可得：实数m的取值范围是（-∞，1]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．