Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+alnx．
（1）若a=-1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；
（2）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的最值；
（3）若a=1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=

2

3

x³的图象下方．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）代入a=-1，从而化简f（x）并求其定义域，再求导判断函数的单调性及极值即可；
（2）代入a=1，从而化简f（x）并求其定义域，再求导判断函数的单调性及求函数的最值；
（3）代入a=1，令F（x）=g（x）-f（x）=

2

3

x³-

1

2

x²-lnx，从而化在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=

2

3

x³的图象下方为F（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，再化为函数的最值问题即可．

解答： 解：（1）当a=-1时，f（x）=

1

2

x²-lnx的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x-

1

x

=

(x-1)(x+1)

x

；
故f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
故f（x）在x=1处取得极小值f（1）=

1

2

；
（2）当a=1时，f（x）=

1

2

x²+lnx的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x+

1

x

＞0；
故f（x）在[1，e]上是增函数，
故f_min（x）=f（1）=

1

2

，f_max（x）=f（e）=

1

2

e²+1；
（3）证明：令F（x）=g（x）-f（x）=

2

3

x³-

1

2

x²-lnx；
则F′（x）=2x²-x-

1

x

=

(x-1)(2x2+x+1)

x

，
∵x∈[1，+∞），
∴F′（x）=

(x-1)(2x2+x+1)

x

≥0，
∴F（x）在[1，+∞）上是增函数，
故F（x）≥F（1）=

2

3

-

1

2

=

1

6

＞0；
故在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=

2

3

x³的图象下方．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了函数的图象与函数的性质的关系及恒成立问题，属于中档题．