Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；
（2）若x∈[

π

4

，

π

2

]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数的值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式 可得f（x）sin（2x-

π

6

）-1，由周期公式即可解得T，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函数f（x）的单调增区间．
（2）由x∈[

π

4

，

π

2

]，可得2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，从而可解得f（x）=sin（2x-

π

6

）-1的值域．

解答： 解：（1）∵f(x)=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-1，…2分
∴由周期公式可得：T=π，…4分
∴由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函数f（x）的单调增区间是：[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]k∈Z…6分
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]
∴sin（2x-

π

6

）-1∈[-

1

2

，0]…8分

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．