Question

设函数f（x）=sin（2ωx-

π

6

）-2cos²ωx+1（ω＞0）直线y=

3

与函数f（x）图象相邻两交点的距离为π．
（1）求ω的值；
（2）若g（x）=af（x）+b在[0，

π

2

]上的最大值为

3

+

5

2

，最小值为1，求a+b的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得：f（x）=

3

sin（2ωx-

π

3

），由周期公式即可求得ω的值；
（2）由x∈[0，

π

2

]，可解得f（x）∈[-

3

2

，

3

]，由题意分情况讨论即可求得a，b的值，从而可求a+b的值．

解答： （本题满分14分）
解：（1）f（x）=sin（2ωx-

π

6

）-2cos²ωx+1
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-cos2ωx
=

3

2

sin2ωx-

3

2

cos2ωx
=

3

sin（2ωx-

π

3

），
由题意，T=π，故ω=1．
（2）当x∈[0，

π

2

]，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，于是f（x）∈[-

3

2

，

3

]．
当a＞0时，

- 3 2 a+b=1 3 a+b= 3 + 5 2

，得到a=1，b=

5

2

；
当a＜0时，

- 3 2 a+b= 3 + 5 2 3 a+b=1

，得到a=-1，b=

3

+1；
所以a+b=

3

或

7

2

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，三角函数的最值的求法，属于基本知识的考查．