Question

设f（x）=

xax

ax-1

-

x

2

（a＞0且a≠1）
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）＜0在定义域上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（2）根据函数是偶函数，将不等式恒成立转化为当x＞0时，f（x）＜0恒成立即可．

解答： 解：（1）函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
则f（x）=x•（

ax

ax-1

-

1

2

）=x•

ax+1

2(ax-1)

，
则f（-x）=-x•

a-x+1

2(a-x-1)

=-x•

1+ax

2(1-ax)

=x•

ax+1

2(ax-1)

=f（x），
则f（x）是偶函数．
（2）∵f（x）是偶函数，
∴若f（x）＜0在定义域上恒成立，
则只要当x＞0时，f（x）＜0恒成立即可，
即x•

ax+1

2(ax-1)

＜0，x＞0，
则等价为a^x-1＜0在x＞0恒成立，
即a^x＜1在x＞0恒成立，
则0＜a＜1．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及不等式恒成立问题，利用函数奇偶性将不等式进行转化，结合指数函数的性质是解决本题的关键．