Question

平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则DB₁和C₁A₁所成角大小为

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：设

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，则两两夹角为60°，且模均为2.|

DB1

|=

( a - b + c )2

=2

6

，|

C1A1

|=

(- a - b )2

=2

2

，

DB1

•

C1A1

=（

a

-

b

+

c

）•（

a

-

b

）=4，设DB₁和C₁A₁所成角为θ，cosθ=|cos＜

DB1

，

C1A1

＞|=

| DB1 • C1A1 |

| DB1 |•| C1A1 |

，由此能求出DB₁和C₁A₁所成角大小．

解答： 解：设

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，则两两夹角为60°，且模均为2．
∵

DB1

=

a

-

b

+

c

，

C1A1

=-

a

-

b

，
∴|

DB1

|=

( a - b + c )2

=

4+4+4+2×2×2× 1 2 +2×2×2× 1 2 +2×2×2× 1 2

=2

6

，
|

C1A1

|=

(- a - b )2

=

a2+b2+2 a • b

=

2+2+2×2×2× 1 2

=2

2

，

DB1

•

C1A1

=（

a

-

b

+

c

）•（

a

-

b

）
=

a

2+

b

2-2

a

•

b

+

a

•

c

-

b

•

c

=4+4-4+2-2
=4，
设DB₁和C₁A₁所成角为θ，
cosθ=|cos＜

DB1

，

C1A1

＞|=

| DB1 • C1A1 |

| DB1 |•| C1A1 |

=

4

2 6 ×2 2

=

3

6

，
∴θ=arccos

3

6

．
故答案为：arccos

3

6

．

点评：本题考查的知识点是异面直线所成角的余弦值的计算，考查空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．