Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、P、Q分别是BC、C₁D₁、AD₁、BD的中点．
（1）求证：PQ∥平面DCC₁D₁；
（2）求AC与EF所成的角的大小．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结D₁E，则PQ∥D₁C，由此能证明PQ∥平面DCC₁D₁．
（2）连结EQ，D₁Q，由题意得EQ

∥

.

1

2

DC

∥

.

D₁F，从而D₁Q∥EF，由D₁Q⊥AC，得EF⊥AC，由此能求出AC与EF所成角．

解答： （1）证明：连结D₁E，
∵P，Q分别为AD₁，AC的中点，
∴PQ∥D₁C，
∵D₁C?平面DCC₁D₁，PQ?平面DCC₁D₁，
∴PQ∥平面DCC₁D₁．
（2）解：连结EQ，D₁Q，
由题意得EQ

∥

.

1

2

DC

∥

.

D₁F，
∴D₁Q∥EF，
在△ACD₁中，∵D₁A=DC，AQ=QC，
∴D₁Q⊥AC，∴EF⊥AC，
∴AC与EF所成角为90°．

点评：本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．