Question

已知函数f（x）=x²+bx+c和g（x）=2x+b，若对任意的x∈R，恒有f（x）≥g（x）
（1）证明：c≥1且c≥b
（2）证明：当x≥0时，（x+c）²≥f（x）

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对任意的x∈R，恒有f（x）≥g（x），可得x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，即△=（b-2）²-4（c-b）≤0，进而分别判断c-1和c-b的符号，可得结论；
（2）结合（1）中结论，可得2c-b=c+（c-b）≥0，c（c+1）≥0，利用做差法可得：（x+c）²-f（x）=（2c-b）x+c（c-1），再由一次函数的图象和性质，可得结论．

解答： 证明：（1）∵对任意的x∈R，恒有f（x）≥g（x），f（x）=x²+bx+c，g（x）=2x+b，
∴x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立
所以△=（b-2）²-4（c-b）≤0，从而 c≥

b2

4

+1
于是 c-1≥

b2

4

≥0，
c-b≥

b2

4

+1-b=(

b

2

-1)2≥0
所以 c≥1且c≥b；
（2）∵（x+c）²-f（x）=（2c-b）x+c（c-1）
当x≥0时，由（1）2c-b=c+（c-b）≥0，
c（c+1）≥0
∴（x+c）²-f（x）=（2c-b）x+c（c-1）≥0
故：当x≥0时，（x+c）²≥f（x）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．