Question

已知三棱锥A-BCD的每条棱长都等于1，M为BC中点，N为AD中点．
（1）求AM与BD成的角的余弦；
（2）求AM与CN成的角的余弦．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱锥的结构特征

专题：空间角

分析：（1）取DC中点E，连结ME，AE，则ME∥BD，∠AME是AM与BD成的角（或所成角的补角），由此能求出AM与BD成的角的余弦值．
（2）连结DM，取DM中点F，连结CF、NF，则∠CNF是AM与CN成的角（或所成角的补角），由此能求出AM与CN成的角的余弦值．

解答： 解：（1）取DC中点E，连结ME，AE，
∵M是BC中点，∴ME∥BD，
∴∠AME是AM与BD成的角（或所成角的补角），
∵AM=AE=

1- 1 4

=

3

2

，ME=

1

2

，
∴cos∠AME=

AM2+ME2-AE2

2AM•ME

=

3 4 + 1 4 - 3 4

2× 3 2 × 1 2

=

3

6

，
∴AM与BD成的角的余弦值为

3

6

．
（2）连结DM，取DM中点F，连结CF、NF，
∵N是AD中点，∴NF∥AM，
∴∠CNF是AM与CN成的角（或所成角的补角），
∵DM=CN=

1- 1 4

=

3

2

，∴NF=

1

2

AM=

3

4

，
CF=

( 3 4 )2+( 1 2 )2

=

7

4

，
∴cos∠CNF=

CN2+NF2-CF2

2×CN×NF

=

3 4 + 3 16 - 7 16

2× 3 2 × 3 4

=

2

3

，
∴AM与CN成的角的余弦值为

2

3

．

点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．