Question

已知函数f（x）=x²+a|x-b|-1（x∈R）．
（1）若函数f（x）为偶函数，求实数b的值；
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）在（0，+∞）不单调，求实数a的取值范围；
（3）当a=1时，先求函数f（x）的最小值g（b），再判断并证明函数g（b）的奇偶性．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）=x²+a|x-b|-1为偶函数，可得f（-x）=f（x），进而可得实数b的值；
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）在（0，+∞）不单调，则-

a

2

＞0，解得实数a的取值范围；
（3）当a=1时，结合二次函数的图象和性质，分类讨论b在不同取值时函数f（x）的最小值g（b），进而可得g（b）的奇偶性．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x²+a|x-b|-1为偶函数，
∴f（-x）=（-x）²+a|-x-b|-1=x²+a|x+b|-1=f（x）恒成立，
即x²+a|x-b|-1=x²+a|x+b|-1恒成立，
解得：b=0；（3分）
（2）在（1）的条件下，f（x）=x²+a|x|-1，
当x∈（0，+∞）时，f（x）=x²+ax-1的图象是开口朝上，且以直线x=-

a

2

为对称轴的抛物线，
若此时函数f（x）在（0，+∞）不单调，
则-

a

2

＞0，
即a＜0；（3分）
（3）当a=1时，f（x）=x²+|x-b|-1=

x2+x-b-1，x≥b x2-x+b-1，x＜b

当b＞

1

2

时，函数在（-∞，

1

2

）上为减函数，在（

1

2

，+∞）上为增函数，
故当x=

1

2

时，函数取最小值b-

5

4

，
当-

1

2

≤b≤

1

2

时，函数在（-∞，b）上为减函数，在（b，+∞）上为增函数，
故当x=b时，函数取最小值b²-1，
当b＜-

1

2

时，函数在（-∞，-

1

2

）上为减函数，在（-

1

2

，+∞）上为增函数，
故当x=-

1

2

时，函数取最小值-b-

5

4

，
∴g（b）=

b- 5 4 ，b＞ 1 2 b2-1，- 1 2 ≤b≤ 1 2 -b- 5 4 ，b＜ 1 2

∵g（b）的定义域关于原点对称，
当b＞

1

2

时，-b＜-

1

2

，
此时g（-b）=b-

5

4

=g（b），
当-

1

2

≤b≤

1

2

时，-

1

2

≤-b≤

1

2

，
此时g（-b）=b²-1=g（b），
当b＜-

1

2

时，-b＞

1

2

，
此时g（-b）=-b-

5

4

=g（b），
综上所述，g（-b）=g（b）恒成立，
即函数g（b）是偶函数．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．