Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点，且AB₁⊥A₁C
（I）求证：AB₁⊥A₁D；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-D的平面的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）首先利用线面垂直的性质，转化成线线垂直，进一步利用线面垂直的判定定理得到线面垂直进一步转化成线线垂直．
（Ⅱ）AB₁交A₁D于E，过A作AF⊥A₁C于点F，连结EF，说明∠AFE为所求二面角的平面角，通过解三角形求解sin∠AFE即可．

解答： 证明：（I）如图，∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴AA₁⊥平面ABC，
又CD?平面ABC，
∴AA₁⊥CD，
由于AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面AB₁，
又AB₁?平面AB₁，CD⊥AB₁，AB₁⊥A₁C，CD∩A₁C=C
所以：AB₁⊥平面A₁CD，
又A₁D?平面A₁CD，
∴AB₁⊥A₁D．
（Ⅱ）由（I）可知AB₁⊥平面A₁CD，交A₁D于E，
∴过A作AF⊥A₁C于点F，连结EF，
∴A₁C⊥平面AEF，∴A₁C⊥EF，
则∠AFE为所求二面角的平面角，
在Rt△A₁AD中，AA₁=2，AD=2，A₁D=2

2

，
∴AE=

AA1•AD

A1D

=

2

，同理求得AF=

AA1•AC

A1C

=

6

13

，
∴sin∠AFE=

AE

AF

=

2

6 13

=

26

6

．
二面角A-A₁C-D的平面的正弦值为：

26

6

．

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理和性质定理，二面角的平面角的求法，考查计算能力以及空间想象能力．