Question

已知凼数f（x）=x³-x．
（1）求曲线y=f（x）过点（1，0）的切线方程；
（2）若过x轴上的点（a，0）可以作曲线y=f（x）三条切线，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）设出切点（m，n），求出切线的斜率和切线方程（用m，n表示），代入点（1，0），结合切点在曲线上，解方程可得m，进而得到斜率和切线方程；
（2）设切点为（s，t），求出切线的方程，代入（a，0），消去t，可得2s³-3as²+a=0，如果存在一条切线经过点P（a，0），则存在s，使（3s²-1）a-2s³=0．于是若过点P可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程（3s²-1）a-2s³=0．有三个不同的实数根，构造函数g（s）=2s³-3as²+a，求出导数，对a讨论，求出单调区间和极值，令极小值小于0，极大值大于0，即可得到a的范围．

解答： 解：（1）设切点为（m，n），
f（x）=x³-x的导数为f′（x）=3x²-1，
则有切线的斜率为3m²-1，
切线的方程为y-n=（3m²-1）（x-m），
代入（1，0），可得n=（3m²-1）（m-1），
又n=m³-m，
解得m=1或-

1

2

，
则过点（1，0）的切线方程为y=x-1或y=-

1

2

x+

1

2

；
（2）设切点为（s，t），
f（x）=x³-x的导数为f′（x）=3x²-1，
则有切线的斜率为3s²-1，
切线的方程为y-t=（3s²-1）（x-s），
代入（a，0），可得t=（3s²-1）（s-a），
又t=s³-s，
消去t，即有2s³-3as²+a=0，
由过点（a，0）可作曲线y=f（x）的三条切线，
则方程（3s²-1）a-2s³=0有三个不同的实数根，
记g（s）=2s³-3as²+a，g′（s）=6s²-6as=6s（s-a），
若a=0，则g（s）递增，不成立；
若a＞0，g′（s）＞0，则s＜0，或s＞a，g′（s）＜0，则0＜s＜a，
故g（s）在s=0处有极大值a，在s=a处有极小值a-a³，
要g（s）=0有3个不同的实根，
则a＞0且a-a³＜0，解得a＞1；
若a＜0，g′（s）＞0，则s＞0，或s＜a，g′（s）＜0，则a＜s＜0，
故g（s）在s=0处有极小值a，在s=a处有极大值a-a³，
要g（s）=0有3个不同的实根，
则a＜0且a-a³＞0，解得a＜-1．
综上可得a＞1或a＜-1．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，以及极值，考查方程和函数的转化思想，注意在某点处的切线和过某点的切线的区别和极值的符号与零点的个数的关系，属于中档题．