Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₄＜0，S₇=S₁₂，问：n取何值时，S_n取得最小值？

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：根据a₄＜0，S₇=S₁₂可得d＞0，而S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=

d

2

n²+（a₁-

d

2

）n，得到S_n是一个关于n的开口向上抛物线，从而可以求出当S_n取得最小值时n的值．

解答： 解：由S₇=S₁₂，得：
7a₁+

7×6

2

d=12a₁+

12×11

2

d，
解得：a₁=-9d，又a₄＜0，得到d＞0，
所以S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=

d

2

n²+（a₁-

d

2

）n，
由d＞0，得到S_n是一个关于n的开口向上抛物线，且S₇=S₁₂，
由二次函数的对称性可知，当n=

7+12

2

，而n是正整数，所以n=9或10时，S_n取得最小值．

点评：本题主要考查了等差数列的性质，以及二次函数的图象与性质，同时考查了计算能力，属于基础题．