Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD=a．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E为PC中点，求证：PA∥平面BDE；
（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）直接根据已知条件求出锥体的体积．
（2（利用三角形的中位线得到线线平行，进一步转化成线面平行．
（3）直接利用解三角形知识求出线面的夹角的大小．

解答： 解：（1）四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD=a．
所以：VP-ABCD=

1

3

•S正方形ABCD•PD
=

1

3

•a2•a=

a3

3

证明：（2）在正方形ABCD中，连接AC和BD交与点O，连接OE，
所以：O是AC的中点，
由于E是PC的中点，
所以：OE是△PAC的中位线，
则：OE∥PA
OE?平面BDE
PA?平面BDE，
所以：PA∥平面BDE．
解：（3）PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD=a．
则：BD=

2

a
所以：∠PBD就是PB与平面ABCD所成角．
则：tan∠PBD=

PD

BD

=

2

2

所以：直线PB与平面ABCD所成角的正切值为

2

2

点评：本题考查的知识要点：锥体的体积公式的应用，线面平行的判定，线面夹角的应用，属于基础题型．