Question

如图所示，几何体A-BCDE是底面边长为4的菱形，∠CBE=120°，侧面ABE是等边三角形，BD∩CE=O，F是BE上的动点，面ABE⊥面BCDE；
（1）当F在何处时，OF∥面ABC；
（2）求三棱锥D-ABE的表面积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）当F是BE的中点时，OF∥面ABC，利用线面平行的判定定理可得；
（2）求出△ABD的高，即可求三棱锥D-ABE的表面积．

解答： 解：（1）F是BE的中点时，OF∥面ABC．
∵O是CE的中点，F是BE的中点，
∴OF∥BC，
∵OF?面ABC，BC?面ABC，
∴OF∥面ABC；
（2）∵几何体A-BCDE是底面边长为4的菱形，∠CBE=120°，
∴△BDE是等边三角形

取BO的中点M，连接MF，AM，则AF⊥平面BDE，FM⊥BO，
∴AM⊥BO，
∵几何体A-BCDE是底面边长为4的菱形，
∴AF=2

3

，MF=

3

，
∴AM=

15

，
∴三棱锥D-ABE的表面积为2×

3

4

×4²+2×

1

2

×4×

15

=8

3

+4

15

．

点评：本题考查线面平行的判定，考查三棱锥D-ABE的表面积，正确运用线面平行的判定定理是关键．