Question

如图1，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点，且该四棱锥的俯视图和侧（左）是图如图2所示．
（1）证明：BC⊥平面PBD；
（2）证明：AM∥平面PBC．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用俯视图和勾股定理的逆定理可得BC⊥BD，利用线面垂直的性质定理可得BC⊥PD，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．利用左视图和平行线分线段成比例的判定和性质即可得出MQ∥CD，MQ=

1

4

CD．再利用平行四边形的判定和性质定理即可得出AM∥BQ，利用线面平行的判定定理即可证明．

解答： 证明：（1）由俯视图可得，BD²+BC²=CD²，
∴BC⊥BD．
又∵PD⊥平面ABCD，
∴BC⊥PD，
∵BD∩PD=D，
∴BC⊥平面PBD．
（2）取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．

由左视图知 PM：PD=1：4，∴MQ∥CD，MQ=

1

4

CD
在△BCD中，易得∠CDB=60°，∴∠ADB=30°．
又 BD=2，∴AB=1，AD=

3

．
又∵AB∥CD，AB=

1

4

CD，
∴AB∥MQ，AB=MQ．
∴四边形ABQM为平行四边形，
∴AM∥BQ．
∵AM?平面PBC，BQ?平面PBC，
∴直线AM∥平面PBC．

点评：熟练掌握由三视图得到线面位置关系和数据、线面垂直的判定和性质定理、线面平行的判定和性质定理、平行线分线段成比例的判定和性质、平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．