Question

定义|

a1a2 a3a4

|=a₁a₄-a₂a₃，若函数f（x）=|

2sinx 2 sinx 2 sinxcosx

|，给出下列四个命题：
①f（x）在区间[

π

8

，

5π

8

]上是减函数；
②f（x）关于（

3π

8

，0）中心对称；
③y=f（x）的表达式可改写成y=

2

cos（2x-

π

4

）-1；
④由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整数倍；
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）-1，
①由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得f（x）的单调递减区间，即可判断；
②由于解得f（

3π

8

）=-1，故不是函数的对称中心；
③由2x+

π

4

=

π

2

-（2x+

π

4

），由诱导公式即可证明命题正确；
④根据函数的周期T=

2π

2

=π，函数值等于0的x之差的最小值为

T

2

，所以x₁-x₂必是

π

2

的整数倍，即可判断．

解答： 解：f（x）=|

2sinx 2 sinx 2 sinxcosx

|=2sinxcosx-2sin²x=

2

sin（2x+

π

4

）-1，
①由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得f（x）的单调递减区间为：[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z，故当k=0时，f（x）在区间[

π

8

，

5π

8

]上是减函数，命题①正确；
②由于f（

3π

8

）=

2

sin（2×

3π

8

+

π

4

）-1=-1，故命题②错误；
③由于f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）-1=

2

cos[

π

2

-（2x+

π

4

）]-1=

2

cos（2x-

π

4

）-1，故命题③正确；
④因为函数的周期T=

2π

2

=π，函数值等于0的x之差的最小值为

T

2

，所以x₁-x₂必是

π

2

的整数倍．所以命题错误．
故答案为：①③．

点评：本题主要考查了平面向量及应用，三角函数的图象与性质，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．