Question

在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，侧棱DD₁⊥平面ABCD，且AD=AA₁=1，AB=2．
（Ⅰ）求证：平面BCD₁⊥平面DCC₁D₁；
（Ⅱ）求异面直线CD₁与A₁D所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由线面垂直得DD₁⊥BC，由矩形性质得DC⊥BC．由此能证明BC⊥平面DCC₁D₁，从而得到平面BCD₁⊥平面DCC₁D₁．
（Ⅱ）取DA，DC，DD₁所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，由cos＜

CD1

，

DA1

＞=

CD1 • DA1

| CD1 |•| DA1 |

，利用向量法能求出异面直线CD₁与A₁D所成角的余弦值．

解答： （本题满分10分）
（Ⅰ）证明：在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，
∴DD₁⊥BC．…（2分）
∵底面ABCD是矩形，所以DC⊥BC．
又DD₁∩DC=D，∴BC⊥平面DCC₁D₁．
又BC?面BCD₁，∴平面BCD₁⊥平面DCC₁D₁．…（5分）
（Ⅱ）解：取DA，DC，DD₁所在的直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示，
∵AD=AA₁=1，AB=2，则D（0，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，1），A₁（1，0，1），…（7分）
∵

CD1

=（0，-2，1），

DA1

=（1，0，1），
∴cos＜

CD1

，

DA1

＞=

CD1 • DA1

| CD1 |•| DA1 |

=

1

5 • 2

=

10

10

．…（9分）
∴异面直线CD₁与A₁D所成角的余弦值是

10

10

．…（10分）

点评：本题考查面面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．