Question

已知f（x）=x²+2ax+3ln（2x+1）在（0，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：求解f′（x）=2x+2a+

6

2x+1

，x＞0．利用基本不等式，）（2x+1）+

6

2x+1

≥2

6

（2x+1=

6

等号成立，即x=

6

2

-

1

2

）求解出f′（x）=（2x+1）+

6

2x+1

+2a-1≥2

6

+2a-1，据单调性与导数的关系得出2

6

+2a-1≥0即可．

解答： 解：∵f（x）=x²+2ax+3ln（2x+1）
∴f′（x）=2x+2a+

6

2x+1

，x＞0．
即f′（x）=（2x+1）+

6

2x+1

+2a-1，
∵x＞0，2x+1＞1，（2x+1）+

6

2x+1

≥2

6

（2x+1=

6

，即x=

6

2

-

1

2

时等号成立）
∴f′（x）=（2x+1）+

6

2x+1

+2a-1≥2

6

+2a-1，
∵在x∈（0，+∞）上是增函数，
∴只需满足2

6

+2a-1≥0，即a≥

1

2

-

6

．

点评：本题考查了利用导数研究函数单调性的规律，结合结合基本不等式求解，属于中档题．