Question

已知曲线y=f（x）及y=f（x）sinωx，其中f（x）＞0，且为可导函数，求证：两曲线在公共点处有相同的切线．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：联立两曲线方程，可得sinωx=1，即有cosωx=0，分别求出两函数的导数，判断是否相等，由导数的几何意义，即可得证．

解答： 证明：联立y=f（x）及y=f（x）sinωx，
消去y，可得sinωx=1，
即有cosωx=0，
由于y′=f′（x），
y′=f′（x）sinωx+f（x）ωcosωx=f′（x）sinωx=f′（x），
即有两曲线公共点处的切线的斜率相等，
故两曲线在公共点处有相同的切线．

点评：本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，正确求导和运用同角的平方关系是解题的关键．