Question

一个四面体的相对棱分别相等，分别为

5

，

13

，

10

，则该四面体的内切球与外接球的半径之比

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：由已知中四面体三组对棱棱长分别相等，且其长分别为

5

，

13

，

10

，故可将其补充为一个长方体，根据外接球的直径等于长方体的对角线，即可求出球的半径．

解答： 解：因为四面体三组对棱棱长分别相等，且其长分别为

5

，

13

，

10

，故可将其补充为一个长方体，长方体棱长为a，b，c，则a²+b²=5，a²+c²=13，b²+c²=10，所以长方体的对角线长的平方为a²+b²+c²=14，设外接球半径为R，所以其外接球直径2R=

1 2 (5+13+10)

=

14

，
并且此四面体的体积为1×2×3-

1

6

×1×2×3×4=2，又每个面的面积为

1

2

×

5

×

10

×

7 2

10

=

7

2

，（其中

7 2

10

是

5

、

10

夹角的正弦值），设内切圆半径为r，则

1

3

×

7

2

×r×4=2，解得r=

3

7

，
所以该四面体的内切球与外接球的半径之比

3

7

：

14

2

=

3 14

49

．
故答案为：

3 14

49

．

点评：本题考查了四面体的外接球和内切球的半径求法；将四面体补为长方体是解答的关键．