Question

设函数f（x）=lnx+

a(x+2)

x

，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）讨论函数g（x）=f′（x）-

x

6

零点的个数．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=lnx+

x+2

x

，f′（x）=

x-2

x2

，分析函数的单调性后，可得当x=2时，f（x）的最小值为ln2+2；
（2）求出函数g（x）=f′（x）-

x

6

的解析式，进而利用导数法，求出其最大值，分类讨论可得函数g（x）=f′（x）-

x

6

零点的个数．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=lnx+

x+2

x

，
则f′（x）=

1

x

-

2

x2

=

x-2

x2

，
当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；
∴当x=2时，f（x）的最小值为ln2+2；
（2）∵f（x）=lnx+

a(x+2)

x

，
∴f′（x）=

1

x

-

2a

x2

=

x-2a

x2

，
∴g（x）=f′（x）-

x

6

=

-x3+6x-12a

6x2

，
令h（x）=-x³+6x-12a，
则h′（x）=-3x²+6，
当x∈（0，

2

）时，h′（x）＞0，函数h（x）为增函数；
当x∈（

2

，+∞）时，h′（x）＜0，函数f（x）为减函数；
故当x=

2

时，h（x）=-x³+6x-12a取最大值4

2

-12a，
若4

2

-12a＜0，即a＞

2

3

，则函数g（x）=f′（x）-

x

6

无零点；
若4

2

-12a=0，即a=

2

3

，则函数g（x）=f′（x）-

x

6

有一个零点；
若4

2

-12a＞0，即a＜

2

3

，则函数g（x）=f′（x）-

x

6

有两个零点；

点评：本题考查的知识点是函数零点的判定，导数法求函数的最值，难度中档．