Question

过原点的一条直线l与函数y=x+

1

x

的图象相交于A，B两点，点A在第一象限，点B在第三象限，则线段AB的长的最小值为

 

．

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用

专题：直线与圆

分析：由题意可得点A和点B关于原点对称，设点A（a，a+

1

a

），则点B（-a，-a-

1

a

），a＞0，再根据AB=

4a2+ 1 4a2

，利用基本不等式求得它的最小值．

解答： 解：由于函数y=x+

1

x

 为奇函数，过原点的一条直线l对应的函数也是奇函数，故点A和点B关于原点对称，
设点A（a，a+

1

a

），则点B（-a，-a-

1

a

），a＞0，
故有AB=

4a2+ 1 4a2

≥

2

，当且仅当4a²=

1

4a2

，即a=1时，取得等号，
故线段AB的长的最小值为

2

，
故答案为：

2

．

点评：本题主要考查函数的奇偶性，两点间的距离公式，基本不等式的应用，属于基础题．