Question

函数y=

3+cosx

1-2cosx

的值域是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：由已知式子可得（1+2y）cosx=y-3，若1+2y=0，即y=-

1

2

，不合题意，故cosx=

1+2y

y-3

，解不等式|

1+2y

y-3

|≤1可得答案．

解答： 解：∵y=

3+cosx

1-2cosx

，∴y（1-2cosx）=3+cosx，
∴（1+2y）cosx=y-3，
若1+2y=0，即y=-

1

2

，则

3+cosx

1-2cosx

=-

1

2

，
整理可得cosx=-7，这与|cosx|≤1矛盾；
∴cosx=

1+2y

y-3

，∴|

1+2y

y-3

|≤1，即（

1+2y

y-3

）²≤1，
变形可得3y²+10y-8≤0，即（3y-2）（y+4）≤0
解得-4≤y≤

2

3

，又y≠-

1

2

，
∴原函数的值域为：[-4，-

1

2

）∪（-

1

2

，

2

3

]
故答案为：[-4，-

1

2

）∪（-

1

2

，

2

3

]

点评：本题考查三角函数的最值，涉及分式不等式的解集以及分类讨论的思想，属中档题．