Question

已知函数f（x）=lnx-ax²-x（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（1，-2）处的切线方程；
（2）当a≤0时，分析函数f（x）在其定义域内的单调性；
（3）若函数y=g（x）的图象上存在一点P（x₀，y₀），使得以P为切点的切线m将图象分割为c₁，c₂两部分，且c₁，c₂分别完全位于切线m的两侧（除了P点外），则称点x₀为函数y=g（x）的“切割点“．问：函数f（x）是否存在满足上述条件的切割点．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：新定义,分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出a=1的函数，求出导数，求出切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）求出导数，对a讨论，a=0，a＜0，运用判别式结合二次方程的求根公式，解不等式即可得到单调区间，注意定义域；
（3）求出导数，对a讨论，a=0，a＞0，由导数得到单调区间，进而得到最大值，即可说明不存在切割点；a＜0，由（2）可得单调区间，说明f（x）无最值，则存在切割点．

解答： 解：（1）当a=1时，函数f（x）=lnx-x²-x
的导数为f′（x）=

1

x

-2x-1，
则函数f（x）在（1，-2）处的切线斜率为1-2-1=-2，
即有函数f（x）在（1，-2）处的切线方程为y+2=-2（x-1），
即为2x+y=0；
（2）函数f（x）=lnx-ax²-x的导数为f′（x）=

1

x

-2ax-1=

-2ax2-x+1

x

，（x＞0），
当a=0时，f′（x）=

1-x

x

，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增．
当a＜0时，令h（x）=-2ax²-x+1，
当△≤0，即1+8a≤0，a≤-

1

8

时，h（x）≥0恒成立，即有f（x）递增；
当△＞0，即1+8a＞0，a＞-

1

8

时，由h（x）=0可得x=

1± 1+8a

-4a

＞0，
当x＞

1+ 1+8a

-4a

或0＜x＜

1- 1+8a

-4a

时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当

1- 1+8a

-4a

＜x＜

1+ 1+8a

-4a

时，f′（x）＜0，f（x）递减．
综上可得，当a=0时，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
当a≤-

1

8

时，f（x）的增区间为（0，+∞）；
当-

1

8

＜a＜0时，f（x）的增区间为（0，

1- 1+8a

-4a

），（

1+ 1+8a

-4a

，+∞），
减区间为（

1- 1+8a

-4a

，

1+ 1+8a

-4a

）．
（3）函数f（x）=lnx-ax²-x的导数为f′（x）=

1

x

-2ax-1=

-2ax2-x+1

x

，（x＞0），
当a=0时，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），f（1）为最大值，且为-1＜0，
即f（x）＜0恒成立．则不存在切割点；
当a＞0时，f′（x）=0解得x=

1- 1+8a

-4a

（负的舍去），
当0＜x＜

1- 1+8a

-4a

时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当x＞

1- 1+8a

-4a

时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（

1- 1+8a

-4a

）取得最大，且为负值，则不存在切割点；
当a＜0时，由（2）得当a≤-

1

8

时，f（x）在x＞0时递增，无最值，则存在切割点；
当-

1

8

＜a＜0时，由于f（x）的增区间为（0，

1- 1+8a

-4a

），（

1+ 1+8a

-4a

，+∞），
减区间为（

1- 1+8a

-4a

，

1+ 1+8a

-4a

），无最值，则存在切割点．
综上可得，当a≥0时，不存在切割点；当a＜0时，存在切割点．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和判断单调性和极值、最值，同时考查新定义的理解和运用，运用分类讨论的思想方法和单调性的运用是解题的关键．