Question

已知函数f（x）=2asinx•cosx+2cos²x+1，f（

π

6

）=4，
（1）求实数a的值；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）求函数f（x）在x∈[-

π

4

，

π

4

]的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=asin2x+cos2x+2，可得f（

π

6

）=

3

2

a+

1

2

+2=4，即可解得a的值．
（2）由（1）可得：f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得f（x）的单调增区间．
（3）由x∈[-

π

4

，

π

4

]，可得2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，从而解得函数f（x）在x∈[-

π

4

，

π

4

]的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=2asinx•cosx+2cos²x+1=asin2x+cos2x+2
∵f（

π

6

）=asin

π

3

+cos

π

3

+2=

3

2

a+

1

2

+2=4，
∴解得：a=

3

．
（2）∵由（1）可得：f（x）=

3

sin2x+cos2x+2=2sin（2x+

π

6

）+2，
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间是：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z，
（3）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2∈[2-

3

，2]，
∴函数f（x）在x∈[-

π

4

，

π

4

]的值域是[2-

3

，2]．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．