Question

若函数y=log_ax（a＞1）的定义域和值域均为[m，n]，则a的范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：由题意知函数y=log_ax（a＞1）与y=x的图象有两个不同的交点，从而转化为log_ax-x=0有两个不同的根，设f（x）=log_ax-x，利用导数求解．

解答： 解：∵函数y=log_ax（a＞1）的定义域和值域均为[m，n]，
∴函数y=log_ax（a＞1）与y=x的图象有两个不同的交点，
即log_ax-x=0有两个不同的根，
设f（x）=log_ax-x，
则f′（x）=

1

xlna

-1，
令f′（x）=

1

xlna

-1=0得，
x=log_ae，
故当x=log_ae时，g（x）取得最大值log_a（log_ae）-log_ae；
则log_a（log_ae）-log_ae＞0；
故1＜a＜e

1

e

；
故答案为：(1，e

1

e

)．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的性质与函数的图象的关系应用，属于中档题．